Fibonacci : Su vida y los Números

La vida y los números de Fibonacci

Fibonacci es uno de los nombres más conocidos en matemáticas. Esto vendrá como una sorpresa para Leonardo Pisano, el matemático ahora que conocemos por el nombre Fibonacci. Y él podría haber quedado igual de sorprendido si supiera que él ha sido inmortalizado en la famosa secuencia– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – en lugar de por lo que se considera su mayor logro matemático – ayudando a popularizar nuestro moderno sistema de número en la latina de habla hispana.

El Imperio Romano dejó de Europa con el sistema de numeración Romana que nos todavía usamos, entre otros lugares, en los avisos de derechos de autor después de que las películas y de programas de TV (2013 es MMXIII). Los números Romanos no fueron desplazados hasta a mediados del Siglo 13 AD, y el libro de Leonardo Pisano, Liber Abaci (que significa “El Libro de los Cálculos”), fue uno de los primeros |Libros Occidentales para describir su eventual reemplazo.

Fibonacci

Leonardo Fibonacci c1175-1250.

Leonardo Pisano nació a finales del siglo xii en Pisa, Italia: Pisano en italiano indica que él era de Pisa, de la misma manera Santander indica que yo soy de Santander. Su padre era un comerciante llamado Guglielmo Bonaccio y es por el nombre de su padre que Leonardo Pisano llegó a ser conocido como Fibonacci. Siglos más tarde, cuando los eruditos estaban estudiando a mano copias por escrito de Liber Abaci (tal y como se publicó antes de que se inventó la imprenta), que malinterpretarse parte del título – “filius Bonacci”, que significa “hijo de Bonaccio” – como su apellido, y de Fibonacci nació.

Fibonacci (como vamos a llevar en llamar a él) pasó su infancia en el Norte de África, donde su padre era un funcionario de aduanas. Fue educado por los Moros y viajado extensamente en Berbería (Argelia), y más tarde fue enviado en viajes de negocios a Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y la Provenza. En 1200 regresó a Pisa y utiliza el conocimiento que había adquirido sus viajes a escribir Liber Abaci (publicado en 1202) en la que presentó la latina en el mundo de habla para el sistema decimal. El primer capítulo de la Parte 1 comienza:

“Estas son las nueve figuras de los Indios: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con estos nueve cifras, y con este signo es 0, lo que en árabe se llama zephirum, cualquier número puede ser escrito, como se ha demostrado.”

Italia en el momento en que fue hecha de pequeñas independiente de pueblos y regiones, y esto llevó a que el uso de muchos tipos de pesas y sistemas de transferencia de dinero. Los comerciantes tenían que convertir de uno a otro cada vez que se comercian entre estos sistemas. Fibonacci escribió el Liber Abaci para estos comerciantes, lleno de problemas prácticos y trabajó ejemplos que demuestran cómo, simplemente, comercial y los cálculos matemáticos se puede hacer con este nuevo sistema de número de en comparación con el voluminoso números Romanos. El impacto de Fibonacci del libro como el comienzo de la propagación de números decimales era su mayor matemáticas logro. Sin embargo, Fibonacci es mejor recordado por una cierta secuencia de números que apareció como un ejemplo en Liber Abaci.

Una página de Fibonacci del Liber Abaci de la Biblioteca Nazionale di Firenze, mostrando la secuencia de Fibonacci (en el cuadro de la derecha).”

El problema con los conejos

Uno de los problemas matemáticos de Fibonacci investigado en el Liber Abaci fue sobre lo rápido que los conejos podrían criar en circunstancias ideales. Supongamos que un recién nacido, el par de conejos, un macho, una hembra, se ponen en un campo. Los conejos son capaces de aparearse a la edad de un mes, de modo que al final de su segundo mes una hembra puede producir otro par de conejos. Supongamos que nuestros conejos nunca mueren y que la hembra siempre se produce una nueva pareja (un hombre y una mujer) de cada mes a partir del segundo mes. El rompecabezas de Fibonacci que representaba era… ¿cuántos pares hay en un año?

  • Al final del primer mes, se aparean, pero todavía hay sólo 1 par.
  • Al final del segundo mes la hembra produce una nueva pareja, por lo que ahora hay 2 pares de conejos.
  • Al final del tercer mes, el original de la hembra produce un segundo par, haciendo 3 pares en todo.
  • Al final del cuarto mes, el original de la mujer ha producido otra nueva pareja, la hembra que nació hace dos meses se produjo su primer par también 5 pares.

Ahora imagina que hay  pares de conejos después de  meses. El número de pares en el mes  va a ser  (en este problema, los conejos nunca mueren) más el número de nuevos pares de nacido. Pero los nuevos pares nacen sólo para parejas en menos de 1 mes de edad, por lo que habrá  nuevos pares. Así tenemos

la cual es simplemente la regla para generar la serie de Fibonacci: añadir los dos últimos para obtener el siguiente. Después de ésta a través de usted encontrará que después de 12 meses (1 año), habrá 233 pares de conejos.

Las abejas son mejores

El conejo problema es, obviamente, muy artificial, pero la secuencia de Fibonacci ocurre en poblaciones reales. Las abejas proporcionan un ejemplo. En una colonia de abejas melíferas hay una hembra llamada la reina. Las otras hembras son las abejas obreras que, a diferencia de la abeja reina, no producen huevos. Los machos de las abejas no hacer ningún trabajo y se llama drone las abejas.

Los machos son producidos por la reina acostados huevos, así abejas masculinas sólo tienen una madre pero no padre. Todas las hembras se producen cuando la reina se ha apareado con un macho y así que tener dos padres. Las hembras por lo general terminan como las abejas obreras, pero algunos son alimentados con una sustancia especial llamada jalea real que se hace de ellos crecer en queens listo para ir a iniciar una nueva colonia cuando las abejas forman un enjambre y salir de su casa (una colmena) en busca de un lugar para construir un nuevo nido. Así abejas hembras tienen dos padres, un macho y una hembra mientras que los varones las abejas tienen sólo uno de los padres, una mujer.

Veamos el árbol de la familia de un hombre de drones de la abeja.

Tiene 1 padre de familia, una mujer.
Tiene 2 abuelos, ya que su madre tenía dos padres, un macho y una hembra.
Tiene 3 bisabuelos: su abuela tenía dos padres, pero su abuelo había sólo uno.
Cuántos tatarabuelos tenía?
De nuevo vemos que los números de Fibonacci :

Número de los padres los abuelos gran-
abuelos
tatara-tatara-
abuelos
tatara-tatara-tatara-
abuelos
de un MACHO de la abeja 1 2 3 5 8
de una HEMBRA de abeja 2 3 5 8 13

Espirales y conchas

La abeja de las poblaciones no son el único lugar en la naturaleza donde los números de Fibonacci se producen, también aparecen en las hermosas formas de conchas. Para ver esto, vamos a construir una imagen de partida con dos pequeños cuadrados de tamaño 1 uno al lado del otro. En la parte superior de ambos dibujar un cuadrado de tamaño 2 (=1+1). Ahora podemos dibujar una nueva plaza – al tocar uno de la unidad de plazas y el último cuadrado de lado 2, por lo que tener lados 3 unidades de tiempo; y, a continuación, otro de tocar tanto el 2-plaza de y las 3 de la plaza (que tiene lados de 5 unidades). Podemos seguir añadiendo plazas alrededor de la imagen, cada nueva plaza de tener un lado que es como siempre y cuando la suma de las últimas dos cuadrados de lados. Este conjunto de rectángulos cuyos lados son dos de los sucesivos números de Fibonacci en longitud y que se componen de los cuadrados de los lados que son de Fibonacci los números, vamos a llamar a los de Fibonacci Rectángulos.

Si ahora nos dibuja un cuarto de círculo en cada cuadrado, se puede construir un especie de espiral. La espiral no es un verdadero matemático espiral (ya que se compone de los fragmentos que forman parte de los círculos, y no va a llegar y más pequeña), pero es una buena aproximación a un tipo de espiral que aparece a menudo en la naturaleza. Tales espirales se ven en la la forma de las conchas de los caracoles y conchas de mar. La imagen de abajo de un sección transversal de una concha de nautilus muestra la espiral de la curva de la cáscara y el interior de las cámaras que el animal utilizando agrega en a medida que crece. Las cámaras de proporcionar flotabilidad en el agua.

Los números de Fibonacci aparecen también en las plantas y las flores. Algunos plantas de rama en tal forma que siempre tienen un número de Fibonacci de los puntos de crecimiento. Las flores suelen tener un número Fibonacci de los pétalos, margaritas puede tener 34, 55, o incluso hasta el 89 pétalos!

Particularmente bella apariencia de los números de fibonacci se encuentra en la espirales de semillas en una semilla en la cabeza. La próxima vez que vea un girasol, mirar los arreglos de las semillas en su centro. Parecen ser en espiral hacia el exterior, tanto a la izquierda y la derecha.

En el borde de esta imagen de un girasol, si se tiene en cuenta que estas curvas de semillas de la espiral a la izquierda como usted ir hacia el exterior, hay 55 espirales. En el mismo punto hay 34 espirales de las semillas de la espiral a la derecha. Un poco más hacia el centro y usted puede contar con 34 espirales a la izquierda y 21 espirales a la derecha. El par de números (contando espirales de la curva a la izquierda y curva a la derecha) son (casi siempre) a los vecinos en el La serie de Fibonacci.

Lo mismo sucede en muchos de semillas y las cabezas de las flores en la naturaleza. La razón parece ser que esta disposición constituye una de empaquetamiento óptimo de las semillas, de modo que, no importa cuán grande sea la semilla de la cabeza, que son uniformemente lleno en cualquier etapa, todas las semillas que al ser del mismo tamaño, no hacinamiento en el centro y no muy escasa en los bordes.

La naturaleza parece usar el mismo patrón para organizar los pétalos alrededor del borde de una flor y lugar las hojas alrededor del tallo. Lo que es más, todos estos mantienen su de la eficiencia de la planta sigue creciendo y eso es mucho pedir a un proceso único! Entonces, ¿cómo crecen las plantas para mantener este optimalidad de diseño?

Golden Growth

Los botánicos han demostrado que las plantas que crecen a partir de un minúsculo grupo de celdas a la derecha en la punta de cualquier planta que crece, llamado el meristemo. Hay un meristemo al final de cada rama o rama donde se formen nuevas células. Una vez formado, crecen en tamaño, pero las nuevas células se sólo se forman en los puntos de crecimiento. Las células de la anterior hacia abajo de la madre ampliar y, entonces, el punto de crecimiento se eleva. Además, estas células crecen en una espiral de la moda: es como si el meristemo se convierte en un ángulo, se produce un nuevo celular, se convierte de nuevo por el mismo ángulo, se produce un nuevo celular, y así sucesivamente. Estas células puede entonces convertirse en una semilla, una nueva hoja, una rama nueva, o tal vez en una flor convierten en pétalos y estambres.

Las hojas aquí están numerados a su vez – cada uno es exactamente 0.618 de las agujas del reloj girar (222.5°) de la anterior.

Lo increíble es que un solo ángulo fijo de rotación puede producir el diseño óptimo, no importa lo grande que la planta crece. El principio de que un solo ángulo se produce uniforme de envases no importa cuánto crecimiento aparece la sospecha de tan temprano como en el siglo pasado, pero sólo demostró matemáticamente en 1993 por Stéphane Douady y Yves Couder, dos franceses de los matemáticos. Hacer 0.618 de vuelta antes de la producción de una nueva semilla (o de la hoja, pétalo, etc) produce el empaquetamiento óptimo de semillas no importa el tamaño de la semilla de la cabeza. Pero, ¿de dónde este número mágico 0.618 vienen?

Golden Ratio

Si tomamos el cociente de dos números sucesivos de la serie de Fibonacci, dividiendo por el número antes de esto, nos encontraremos con la siguiente serie de números:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…

Si usted trace una gráfica de estos valores verás que parece que se tiende a un límite, que nos llame a la proporción áurea (también conocido como el oro número y sección de oro).

Relación de los sucesivos términos de Fibonacci.

Tiene un valor de  ( aproximadamente 1.618034) y a menudo es representado por una letra griega Phi, que se escribe como . La estrecha relación del valor que podemos escribir como , una minúscula phi, es sólo la parte decimal de pi, es decir, 0.618034… (), el número de cuentas para las espirales en las inflorescencias y los arreglos de las hojas de muchas plantas. Pero, ¿por qué no nos vemos phi en tantas plantas?

El número Phi (1.618034…), y por lo tanto también phi (0.618034…), son números irracionales: que no puede ser escrito como una fracción simple. Vamos a ver, ¿qué pasaría si el meristemo en una semilla en la cabeza en lugar girada por algunos más simple número, por ejemplo, la fracción 1/2. Después de dos turnos a través de la mitad de un círculo podemos volver a donde la primera semilla fue producida. Con el tiempo, convirtiendo a la mitad de un turno entre las semillas de producir una semilla de la cabeza con los dos brazos que se irradia desde un punto central, dejando un montón de espacio desperdiciado.

Una semilla de cabeza producido por 0.5=1/2 vueltas entre las semillas: alternativa de semillas de la línea de arriba. Una semilla en la cabeza producido por un 0,48=12/25 vueltas entre las semillas: las semillas se forman dos brazos giratoria. Una semilla de cabeza producido por 0.6=3/5 vueltas entre las semillas: las semillas formulario de 5 brazos rectos.

Pi vueltas entre las semillas produce siete brazos de la espiral de Fibonacci

Algo similar sucede para cualquier otra operación sencilla de fracción de vuelta: semillas que crecen en los brazos espirales, que dejan una gran cantidad de espacio entre ellos (el número de armas es el denominador de la fracción). Así que el mejor valor para los turnos entre las semillas será un número irracional. Pero no cualquier número irracional va a hacer. Por ejemplo, la semilla de la cabeza creado con pi vueltas por semilla parece tener siete brazos de la espiral de semillas. Esto es debido a que 22/7 es una muy buena racional aproximación de pi.

Lo que se necesita para no perder el espacio es un número irracional que no está bien aproximada por un número racional. Y resulta que Phi (1.618034…) y su parte decimal phi (0.618034…) son los “más irracionales” de todos los números irracionales. (Usted puede averiguar por qué en el Caos en el número de la tierra: la vida secreta de las fracciones continuas.) Esta es la razón por la vuelta de Phi da el empaquetamiento óptimo de semillas y las hojas en las plantas. También explica por qué los números de Fibonacci aparecen en la hoja de arreglos y como el número de espirales en las inflorescencias. Adyacentes de números de Fibonacci dar las mejores aproximaciones de la proporción áurea. Ellos se turnan para ser el denominador de las aproximaciones y definir el número o espirales como las cabezas de la semilla aumento en el tamaño.

¿Cómo tantas plantas descubrir esta hermosa y útil número Phi? Obviamente no de la solución de las matemáticas como Fibonacci hizo. En lugar de eso nos supongamos que, así como la relación de los sucesivos números de Fibonacci finalmente, se asienta sobre la proporción áurea, la evolución gradualmente se establecieron en el número de la derecha también. El legado de Leonardo Pisano, también conocido como Fibonacci, se encuentra en el corazón de cada flor, así como en el corazón de nuestro sistema de numeración.